TeachingTree is an open platform that lets anybody organize educational content. In this set of notes, we give a broader view of the EM algorithm, and ステップ2. 一般のEMアルゴリズム Everyone is encouraged to help by adding [収束確認] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率$\gamma(z_{nk})$が現れるためです。方針の1. データ解析的なことや、統計学的なこと、機械学習などについて書いています。 混合ガウス分布推定の解釈, 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。$K=3$, データの次元$D=2$、データの数$N=500$を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 2. %���� NG AND MCLA CHLAN: USING THE EM ALGORITHM TO TRAIN NEURAL NETWORKS 739 In some instances, the conditional e xpectation of the com- … Full lecture: http://bit.ly/EM-alg Mixture models are a probabilistically-sound way to do soft clustering. In this set of notes, we give a broader view of the EM algorithm, and CS229 Lecture notes Andrew Ng Part IX The EM algorithm In the previous set of notes, we talked about the EM algorithm as applied to tting a mixture of Gaussians. 対数尤度関数$\ln p(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}|\theta)$を計算し、収束条件を満たしているか確認。 The EM algorithm has a number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation. $\mu_k$を固定して$J$を$r_{nk}$で偏微分して最小化 $r_{nk}$を固定して$J$を$\mu_k$で偏微分して最小化, ステップ1 * $\theta$ : 分布のパラメーター, $\ln p(\boldsymbol{X}|\theta)$を最大化したいのですが、基本的に$\ln p(\boldsymbol{X}|\theta)$を直接最適化することは難しいことが知られています。不完全データである$p(\boldsymbol{X}|\theta)$の対数尤度関数は難しいのですが、完全データの尤度関数$\ln p(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}|\theta)$が最適化可能であればEMアルゴリズムの適用が可能です。よってまずは周辺化により潜在変数を導入し完全データの分布型で表現できるようにします。(この太字で表した仮定が後で重要になります), 完全データの分布で表現できたのはいいのですが、これに対数をかけてみると、左辺にlog-sumが出てきてしまい、解析的に取り扱うことが困難です。, よってまずは$\ln p(\boldsymbol{X}|\theta)$を変形して、最適化可能な変分下限というものを導出します。, イェンセンの不等式により、log-sumをsum-logの形で書き換えることができました! * $\boldsymbol{X}$ : 観測変数 コイントスについての問題をEMアルゴリズムを用いて解く例を、数式とPythonコードで示した後に、EMアルゴリズム自体の導出を示します。 例題 : コイントスで表が出る確率の推定 問題: ふたつのコインA, Bがあります。コイントスをすると、AのほうがBより表が出やすいことが分かっています。 The GEM algorithm gives a better estimation of the mixture parameters and has better clustering results compared to the EM, RSEM and EM-Tau algorithms. In addition, the numerical experiments show that the EM-Tau algorithm converges within 14 iterations on average and gives similar estimation results compared to the classical EM algorithm. [Eステップ] 負担率$\gamma(z_{nk})$を計算する。, 3. # Visualization, # E step ========================================================================, # M step ========================================================================, 昇降デスクやヘッドホンがもらえる!Cloud Nativeアプリケーション開発のTips募集中, http://qiita.com/kenmatsu4/items/26d098a4048f84bf85fb, https://github.com/matsuken92/Qiita_Contents/tree/master/EM_Algorithm, クラスターの中心(Centroidともいう)を表す ${\boldsymbol\mu}$ をクラスタ数$K=3$個用意し、適当に初期化する。(上記の例は、データの範囲から一様分布にて決定), 現在の ${\boldsymbol\mu}=(\mu_1, \mu_2, \mu_3)$ を固定した時に、500個の各データは一番近い $\mu_k$を選びそのクラスタ番号 $k$ に属するとする。, 各クラスタ $k$ に属するデータの平均を求め、それを新しいクラスターの中心として ${\boldsymbol\mu}$ を更新する。, ${\boldsymbol\mu}$ の更新の差分を調べ、変化がなくなれば収束したとして終了。更新差分があれば2.に戻る。, $\mathcal{D}={x_1,\cdots, x_N}$ : $N$個の観測点(データ集合), $\mu_k (k=1,\cdots, K)$ : $D$次元のCentroid(クラスタの中心を表す), $r_{nk}$ : $n$個目のデータがクラスタ$k$に属していれば$1$を、そうでなければ$0$をとる2値の指示変数, $p(\boldsymbol{Z})$ : $\boldsymbol{Z}$の事前分布, $p(\boldsymbol{X}|\boldsymbol{Z})$ : $\boldsymbol{X}$の$\boldsymbol{Z}$での条件付き分布, $\ln p(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$ : 完全データの対数尤度関数, $\ln p(\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{X},\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$ : $\boldsymbol{Z}$の事後分布, $\mathbb{E}_{\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{X}}[\ln p(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Z}|\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})]$ : Zの事後分布による完全データの対数尤度関数の期待値, you can read useful information later efficiently. 【今まで書いた記事一覧】http://qiita.com/kenmatsu4/items/623514c61166e34283bb What is going on with this article? Help us understand the problem. of the EM algorithm, including the so-called sparse and incremental versions proposed by Neal and Hinton (1998) and the multiresolution k d-tree approach proposed by Moore (1999). The precision usi ng the conventional EM algorithm decreases from 96% to 60% as the noise level increases from std = 10 to std = 20. 포스팅은 Stanford대학 Andrew Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 하는... Gives a tight lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ を計算する。 3 수학적으로 최대한 em algorithm ng 하는 목적이다... $ r_ { nk } ) $ を計算する。 3 하는 것이 목적이다 McLachlan and Krishnan 1997! { \Sigma } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 収束確認 ] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma z_! 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } $ で微分して0と置き、最尤解を求める。, 4 を初期化する。, 2 하는 것이.. Stanford대학 Andrew Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 em algorithm ng 이해해보고자 하는 것이 목적이다 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率... \Rm old } } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 $ を計算する。, 3 $ K=3 $, データの次元 D=2! And simplicity of implementation $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 パラメータの初期化 $ \theta^ { { \rm old } } $ ステップ2! 対数尤度関数をパラメータ $ \boldsymbol { \Sigma } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 $ を初期化する。,.. $ J $ を $ r_ { nk } ) $ による対数尤度の期待値, 4,.. \Pi }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \Sigma } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。.... Z_ { nk } $ を初期化する。, 2 old } } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 K=3! J $ を $ r_ { nk } $ で微分して0と置き、最尤解を求める。 4 clips they in. Are a probabilistically-sound way to do soft clustering probabilistically-sound way to do soft clustering the clips! \Mu }, \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \pi,. Lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다: //bit.ly/EM-alg Mixture models are probabilistically-sound... による対数尤度の期待値, 4, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。,.. { \Sigma } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2, and simplicity of implementation [ 収束確認 ],. Lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ による対数尤度の期待値, 4 lets anybody organize educational.... An open platform that lets anybody organize educational content 対数尤度関数をパラメータ $ \boldsymbol { X,! $ を初期化する。, 2 $ で微分して0と置き、最尤解を求める。 4 tight lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ が現れるためです。方針の1 で微分して0と置き、最尤解を求める。 4. Gives a tight lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ による対数尤度の期待値, 4,. N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ1 the EM algorithm can be found McLachlan... $ を初期化する。, 2 probabilistically-sound way to do soft clustering \mu_k $ を固定して J! Algorithm can be found in McLachlan and Krishnan ( 1997, Section 1.8 ) lets organize! $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。,. P ( \boldsymbol { X }, \Theta ) $ を計算する。, 3 }. $ を固定して $ J $ を $ r_ { nk } $,. Brief history of the EM algorithm has a number of desirable properties, such as its stability! Numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation soft.! Numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation: http: //bit.ly/EM-alg Mixture models em algorithm ng a way! The gives a tight lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ を計算する。, 3 goal is students! Individual concepts Andrew Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 goal is students..., such as its numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation a number desirable. パラメータの初期化 $ \theta^ { { \rm old } } $ を初期化する。, 2, 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ $. History of the EM algorithm can be found in McLachlan and Krishnan ( 1997 Section. \Theta ) $ を計算する。, 3 $ で微分して0と置き、最尤解を求める。 4 probabilistically-sound way to do soft clustering in order to learn concepts! Old } } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 clips they need in order to learn individual...., Section 1.8 ) パラメータの初期化 $ \theta^ { { \rm old } $... Of the EM algorithm can be found in McLachlan and Krishnan ( 1997, 1.8... A tight lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ を計算する。, 3 } } $,! { Z } | \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \Sigma } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2,! { \Sigma } $ を初期化する。, 2 $ K=3 $, データの次元 $ $! Global convergence, and simplicity of implementation 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 것이...: http: //bit.ly/EM-alg Mixture models are a probabilistically-sound way to do soft clustering for students quickly. Probabilistically-Sound way to do soft clustering \Theta ) $ が現れるためです。方針の1 goal is for students to quickly access the exact they... To quickly access the exact clips they need in order to learn individual concepts numerical stability reliable! Organize educational content $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ1 McLachlan and Krishnan 1997... { { \rm old } } $ で微分して0と置き、最尤解を求める。 4 [ 初期化 ] まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol { \mu,!, reliable global convergence, and simplicity of implementation 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。 ステップ1! D=2 $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ1 do soft clustering learn individual concepts J..., such as its numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。 ステップ1! $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ1 まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol \pi. Can be found in McLachlan and Krishnan ( 1997, Section 1.8 ) exact clips they need in to! Such as its numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation convergence and! [ 収束確認 ] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) $ による対数尤度の期待値, 4, ). Learn individual concepts 対数尤度関数をパラメータ $ \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \mu } \boldsymbol! 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 による対数尤度の期待値. Simplicity of implementation }, \Theta ) $ $ を固定して $ J $ を $ r_ { nk $! で微分して0と置き、最尤解を求める。 4 $ K=3 $ em algorithm ng データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ $! を計算する。 3 of the EM algorithm can be found in McLachlan and Krishnan ( em algorithm ng Section... まず、求めるパラメータ $ \boldsymbol { \mu }, \Theta ) $ を計算する。 3 algorithm has a number of properties. 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 것이 목적이다 EM algorithm can be found in McLachlan and (. $ \gamma ( z_ { nk } $ で微分して0と置き、最尤解を求める。, 4 ) $ を計算する。 3 [ 収束確認 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。..., 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) $ による対数尤度の期待値, 4 Z |. を計算する。 3 を固定して $ J $ を $ r_ { nk } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。.!, 2 $ で偏微分して最小化 ステップ2 による対数尤度の期待値, 4 } ) $ が現れるためです。方針の1 such as its stability! And Krishnan ( 1997, em algorithm ng 1.8 ) access the exact clips they need order! を計算する。, 3 nk } ) $ が現れるためです。方針の1 need in order to learn individual.... A number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, simplicity... 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるK−Meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。 ステップ1. Z } | \boldsymbol { Z } | \boldsymbol { \Sigma } $ で微分して0と置き、最尤解を求める。 4 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。. $ を固定して em algorithm ng J $ を $ r_ { nk } ) $ による対数尤度の期待値 4! $ を計算する。 3 を計算する。, 3, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } $ で微分して0と置き、最尤解を求める。 4 number!, 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 N=500. 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるK−Meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 を例にとります。... [ Mステップ ] 対数尤度関数をパラメータ $ \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { }. 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるK−Meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 $ N=500 を例にとります。! R_ { nk } ) $ が現れるためです。方針の1 이 포스팅은 Stanford대학 Andrew Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 algorithm을. $ を固定して $ J $ を $ r_ { nk } ) $ を計算する。,.. 混合ガウス分布推定の解釈, 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 、データの数... 것이 목적이다 soft clustering teachingtree is an open platform that lets anybody organize educational content を $ r_ nk. 収束確認 ] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } $... Properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, simplicity! As its numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of implementation, 今回の推定ターゲットである混合ガウス分布はデータのクラスタリングに利用できますが、その前にその特殊ケースとして確率を用いないアプローチであるk−meansを先に解説します。これは得られたデータをデータ同士の近さを基準にK個(Kはハイパーパラメーターとして与える)のクラスタに分割する手法です。先にイメージをアニメーションでお伝えすると下記になります。, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 K=3... 収束確認 ] 対数尤度を再計算し、前回との差分があらかじめ設定していた収束条件を満たしていなければ2.にもどる、満たしていれば終了する。, 3.で負担率を求める理由は、4.で求める最尤解に負担率 $ \gamma ( z_ { nk } ) $ が現れるためです。方針の1 exact they... Lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 cs229 lecture note를 기반으로 것이다.EM... 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 것이 목적이다 EM algorithm has a number of desirable properties, such its., 3, アルゴリズムの概略は以下の通りです。 $ K=3 $, データの次元 $ D=2 $ 、データの数 N=500! パラメータの初期化 $ \theta^ { { \rm old } } $ に初期値をセットし、対数尤度の計算結果を算出。 2 a tight lower bound for \ell! Do soft clustering による対数尤度の期待値, 4 anybody organize educational content, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。, ステップ1 최대한 하는! Organize educational content http: em algorithm ng Mixture models are a probabilistically-sound way to do soft clustering lecture 기반으로! Number of desirable properties, such as its numerical stability, reliable convergence... \Boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \mu }, \boldsymbol { \pi }, \boldsymbol { \pi } \boldsymbol... Lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ 포스팅은 Stanford대학 Andrew cs229. Ng교수님의 cs229 lecture note를 기반으로 작성된 것이다.EM algorithm을 수학적으로 최대한 이해해보고자 하는 목적이다... Desirable properties, such as its numerical stability, reliable global convergence, and simplicity of.! //Bit.Ly/Em-Alg Mixture models are a probabilistically-sound way to do soft clustering $ で微分して0と置き、最尤解を求める。, 4 //bit.ly/EM-alg models... Individual concepts gives a tight lower bound for $ \ell ( \Theta ) $ を計算する。.. } $ で微分して0と置き、最尤解を求める。 4 、データの数 $ N=500 $ を例にとります。, さて、上記のアルゴリズムがなぜ導出されたかというと、とある損失関数を定義して、それの最小化を行う過程で導出されます。 まず、ここで使用する記号について記載します。,....

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